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∫x/(x^2-2ax 1)dx的不定積分為1/2*ln|(x^2-2ax 1| a/√(1-a^2)*arctan（(x-a)/√(1-a^2)） C

解：∫x/(x^2-2ax 1)dx

=1/2*∫(2x-2a 2a)/(x^2-2ax 1)dx

=1/2*∫(2x-2a)/(x^2-2ax 1)dx ∫a/(x^2-2ax 1)dx

=1/2*∫1/(x^2-2ax 1)d(x^2-2ax 1) ∫a/(x^2-2ax 1)dx

=1/2*∫1/(x^2-2ax 1)d(x^2-2ax 1) a*∫1/((x-a)^2 1-a^2)dx

=1/2*∫1/(x^2-2ax 1)d(x^2-2ax 1) a/(1-a^2)*∫1/(((x-a)/√(1-a^2))^2 1)dx

=1/2*ln|(x^2-2ax 1| a/(1-a^2)*∫1/(((x-a)/√(1-a^2))^2 1)dx

令(x-a)/√(1-a^2)=tant，則x=√(1-a^2)*tant a，那麼

∫1/(((x-a)/√(1-a^2))^2 1)dx

=∫1/(sect)^2d(√(1-a^2)*tant a)

=√(1-a^2)*∫(sect)^2/(sect)^2dt

=√(1-a^2)*∫1dt

=√(1-a^2)*t C

又(x-a)/√(1-a^2)=tant，則t=arctan（(x-a)/√(1-a^2)），則

∫1/(((x-a)/√(1-a^2))^2 1)dx

=√(1-a^2)*t C

=√(1-a^2)*arctan（(x-a)/√(1-a^2)） C

所以∫x/(x^2-2ax 1)dx

=1/2*ln|(x^2-2ax 1| a/(1-a^2)*∫1/(((x-a)/√(1-a^2))^2 1)dx

=1/2*ln|(x^2-2ax 1| a/√(1-a^2)*arctan（(x-a)/√(1-a^2)） C

即∫x/(x^2-2ax 1)dx的不定積分為：

1/2*ln|(x^2-2ax 1| a/√(1-a^2)*arctan（(x-a)/√(1-a^2)） C

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