1. 泊松分布——直觀理解、應用示例、推導過程
泊松分布是一種用於預測在固定時間間隔內發生指定數量事件的概率分布。它由泊松發明，用於解決預測未來事件數目問題。例如，可以用來預測客戶購買商品的數量、網站訪客數量、廣告點擊次數、電話次數或死亡人數等。使用泊松分布可以幫助我們估算特定事件發生的概率。
假設我們不知道事件發生的概率和總試驗次數，但知道事件的平均發生次數。以點贊為例，平均每周有17人點贊。要預測下周將有多少人點贊，可以使用泊松分布。通過已知數據，可以計算出每周閱讀次數（n）和每周點贊人數（x）的平均值。在此基礎上，可以利用泊松分布的概率質量函數（PMF）來估算下周恰好有20個成功（點贊）的概率。
泊松分布的使用場景比二項分布更廣泛。二項分布只能處理固定次數的試驗，而在單位時間內只能發生0次或1次事件。而泊松分布允許在單位時間內發生多個事件，這使得它在處理流量、電話呼叫等連續事件時更為適用。同時，泊松分布不需要預先知道試驗次數和成功概率，只需知道事件的平均發生次數（速率λ）。
從二項分布的PMF推導出泊松公式，關鍵在於當試驗次數趨向無窮大且成功概率趨向於零時，二項分布的兩個參數可以合並為一個平均事件次數λ。隨著λ的增大，泊松分布的圖形會越來越接近正態分布。
泊松分布具有非對稱性，總是向右傾斜，因為事件數量不能為負，但可以無限大。隨著λ的增加，分布的形態會逐漸接近正態分布。泊松分布的假設條件包括事件平均速率恆定以及事件間獨立性。
泊松分布與指數分布之間存在緊密關系。如果單位時間內的事件數量遵循泊松分布，那麼事件之間的時間間隔則遵循指數分布。這兩種分布雖然在性質上有所不同，但它們在實際問題中經常相互關聯。
總結起來，泊松分布是一種強大的統計工具，適用於預測固定時間間隔內事件發生的概率。它在許多領域都有廣泛的應用，如市場營銷、網路流量分析、生物統計等。通過理解其原理和推導過程，我們可以更好地應用泊松分布解決實際問題。