A. 【抽象代數】代數系統、群與商群
我們已經知道 函數 的概念，它表示集合間的一種 映射關系 。當像和原像是同一集合時，便是抽象代數中常討論的函數了。一元函數 f: A↦A 也被稱為集合 A 上的 變換 ，其中雙射的變換也稱為 置換 。一般如下式的多元函數，也被稱為集合A上的 n 元 運算 。集合 S 以及其上的一些運算 組成的系統叫 代數系統 （algebraic system），在不混淆的情況下也可用 S 表示這個代數系統。 代數系統 可以讓我們拋開具體態液運算對象，而只關注於它們共有的 結構和性質 。
二元運算是最常見的運算，比如各種對象（數、向量、多項式等）上的加減乘運算，以及變換的復合運算。這里就主要研究二元運算下的代數系統，參照的例子主要是來自 數論 和 置換變換 。對於這個二元代數系統，
我們用特定的符號 a∘b 來表示要研究的二元運算 f(a,b)，有時也簡寫為 ab ，並且說成是「乘法」，注意這里的乘法代表一種抽象的運算，即只要是有一種代數運算滿足結合律就行，這個代數系統簡單記為 ⟨ S, ∘ ⟩ 。如果還有另一個系統 ⟨ G,⋆ ⟩，我們怎麼去判斷它與上一個代數系統是否有關系呢。因為對抽象代數而言，其運算律的重要性。故我們只要求在兩個代數系統之間在一個 一一映射下保持其運算律 就行。即它們之間有一一映射 f: S ↦ G ，並且滿足下式，則這兩個系統稱為 同構的 （isomorphic），記作 S≅G 。顯然同構是個等價概念，同構的代數系統可以看作是完全一樣的，本質上可以不加區橘閉臘分。
從運算的外在形式上看，有兩種比較重要的性質是需要研究的，一個就是運算的復合，另一個就是變數的位置互換。它們分別對應著結合律與交換律。運算的復合是指變數本身又是另一個運算的結果，比如 。結合律本質上是說運算只與被操作數的序列有關，而與運算順序無關。直觀地講，一串運算，無論如何添加括弧限制運算順序，結果都是一樣的。滿足結合律的代數系統稱為 半群 ，但是半群的性質過於簡單，還不能構成一個自成體系且有太多用處的代數結構，還需要添加一些性質或公理限制約束才行。
對於很多運算，運算結果是依賴於變數的順序的，a ∘ b 與 b ∘ a 不一定相等，比如置換和矩陣乘法。反之，如下條件被稱為運算的交換律。我們已經看到，交換律在很多場合是不滿足的，由此一般也不假定它成立。交換律使得變數順序不再重要，它和結合律共同作用的結果就是，運算結果僅與變數有關，它們的順序可以隨意安排。
前面討論的是運算本身的外在形式特點，它們還構成不了十分有趣的代數系統，現在需要對系統的結構作進一步的限制或公理化描述。正如前面描述的代數結構，即一個抽象集合和代數運算。而我們通過函數或映射的觀點來看的代數運算。故一個最為基本的映射就是集合之上的 恆等映射 。而從運算的角度來看就是我們的單位元。即任何一個元素與它復合作用都是該元素本身。如果我們想我們的代數系統可以更加完善和靈活就必須要求有它。這是通過公理化的約束條件賦予給代數系統的。但上面也談到了對於一個代數系統來說不一定具有交換律。故就存在著左單位圓滑元與右單位元。我們可以有 ，它們是相等的！這種情況則統稱為 單位元 （identity）（顯然唯一），而含有單位元的半群叫 幺半群 。
單位元實現了我們一個樸素的目標：任何元素都可以成為運算結果。現在我們還有一個很普遍的要求，就是式（6）的某個一元一次方程總有解。你得承認這也是個不過分的要求，因為一次方程都沒有解的話，這個系統是很難玩得轉的。如果要求 有解，比較直觀的方法是要求兩邊可以「除以」a，或「乘以」a的逆 ，得到 。換句話說就是要求存在逆，分別使得式（7）成立。滿足條件的逆分別稱為左逆元和右逆元。
如果左（右）逆元同時存在，則 ，它們是又是相等的，這時統稱為 逆元 （inverse）（顯然唯一）。根據式（8）可知a同時也是 的逆元，並且它們的運算是可以交換的。比較容易證明逆元有式子（9）的性質。
逆元的存在使得「除法」成為可能，它讓系統一下子立體起來。最典型的性質就是，當 依次遍歷群時， （或 ）會遍歷整個群，即相當於同時對群內的所有元素作了一個乘 a 的映射變換。如果作用後有任意兩個新元素相同，即 ，那麼兩邊乘以 ，則有 。這個性質又叫 消去律 ，便會推出矛盾。如果把整個運算列成一張二維矩陣的表，行列都是集合 S 中的元素經過相同復合作用，則矩陣的每行和每列都包含整個群，且沒有重復元素。這個性質非常重要，我們後面還會用到它，注意這里與後面要講的陪集的概念是不同的，陪集作用的是子群，而不是群元素本身。
存在逆元的幺半群叫群，於是我們的主角就這樣登場了。 總結一下 ，集齊 結合律、單位元 和 逆元 這三大基本性質的 代數系統(集合 + 代數運算) 就是 群 ，這里我們也可以用另一種視角去看待它，即滿足上述五條公理化要求的數學結構就稱為群。一般用字母 表示。而對於後面要介紹的代數系統，我們都可以用公理化的視角去看待。如果除此之外還滿足交換律，它就叫 交換群 （commutative group）（或 Abel 群（Abelian group））。集合的元素個數 稱為群的 階 （order），顯然有有限群和無限群。有了上述性質，尤其是逆元的存在，群便有了非常有趣的結構，後面會慢慢展開介紹。
值得一提的是，單位元和逆元的條件其實是有些 冗餘的 ，在很多教材里只要求群滿足結合律、存在左單位元和左逆元（或右單位元和右逆元）。現在我們來證它們和原定義的等價性，即已知對任意a，存在 ，求證 的存在性。首先記 ，則有 ，從而 。這樣 同時還是右單位元，由前面的討論知它就是單位元e。那麼再由剛才的 可知 還是右逆元，故有逆元 。
還有一點需要注意，方程（6）有解和消去律與逆之間是否有等價關系？其實是不一定的，在某些情況還是等價的，大家可以嘗試著思考如下兩個問題。
• 滿足方程（6）都有解的半群是群；（提示：證明單位元和逆存在）
• 同時滿足左右消去律的有限半群是群。（提示：利用上題結論）
群的例子非常普遍，比較顯然的有任何數系的加法、正數的乘法、矩陣的加法和乘法。再比如上面提到的變換，以及我們在《初等數論》中看到的即約剩餘系的乘法，都容易證明它們是群。還有一些著名的群，它們元素個數很少，但結構卻不簡單，應用也很廣泛。比如著名的 四元數群 ，它滿足下表的運算律，它們就是四元數的單位元，是比復數更一般的數系。
還有就是以下 四元群 ，本篇提交的所有群都是後續討論中的典型例子，你可以先品味一下它們的特點，並帶入後續的討論中。
在給定了群的公理化定義之後，下面的任務就是要研究它的結構，從而能得到有用的性質。結構分析最常用的方法當然就是 分解 ，將大的復雜對象分解為一個個簡單的小對象，結構自然就清楚了。同樣道理，我們也希望將 群拆解為結構更簡單的小群 ，這個目標將貫穿整個群論。我們自然先給這個「小群」下個定義，它首先必然是群的 子集 ，並且在 同樣的運算 下能獨立成 群 ，這樣的子集被稱為 子群 （subgroup）。
若H是G的子群，一般記作 ，顯然 和 G 都是 G 的子群，它們也叫平凡子群。如果 ，H叫做G的真子群（proper subgroup），記作H<G。由於子群完全繼承了父群運算，因此必定滿足結合律，並且單位元和逆元不變。唯一的要求就是要子群不殘缺，該有的元素（單位元和逆元）都要有，運算在子群中還要封閉。現在我們要把這幾個條件寫成表達式，才能給出子群的 嚴格定義 。對於G的一個非空子集 H，如果滿足式子（10）中的條件，它就是 G 的子群。另外容易證明，這三個條件其實和式子（11）的條件是等價的，它一般被用作子群的判定條件。
如果子集 M 不滿足子群的條件怎麼辦？你當然可以把需要的元素一個個補齊，最終滿足條件的子群就叫的 生成子群 ，記作 ⟨M⟩。當然，你可以給出生成子群的精確定義：包含 集合 M 的最小子群，也稱由集合 M 誘導的生成子群。只有一個元素 a 生成的子群又叫 循環群 ⟨a⟩（cyclic group），a 叫做它的 生成元 （generator）。顯然整數加群、有原根的即約剩餘系都是循環群，並且循環群顯然是交換群。
雖然定義了子群，但分解群的任務還很重，這里我們暫且休息一下，從最簡單的循環群研究起。循環群是一類被完全解決了的群。也就是說這種群的元素表達方式和運算規則，以及在同構意義下它由多少個和它們子群的狀況都研究清楚了的群。一個循環群中無非是這樣的元素： 。類似數系中的冪運算，我們可以引入指數記號 表示循環群中的每一個元素，你可以證明它完全滿足指數的常規性質（公式（12）（13））。
在任何群中，如果有最小 的使得 ，那麼稱n為a的 階 （order），記作 |a|。如果不存在這樣的 n，則稱 a 的階為無窮大，也記作 |a|。階的性質和我們之前介紹的在《初等數論》中討論的指數的性質完全一樣。
在循環群 ⟨a⟩ 中，如果 ，則顯然它和有原根的既約剩餘系同構： ，並且有 個生成元。當 a 的階為無窮大時，它和整數加法群同構： ，其中只有 兩個生成元。下面有一些階和子群的思考題，難度不大，可供讀者消遣思考一下：
• 有限子集 H 是子群的充要條件是：對任何 ，總有 ；
• 求證： ， ， ；
• 求證：有限群中階數大於2的元素有偶數個；
• 如果 ，求證 。
說完了最簡單的群，現在來看最「 完整 」的群。置換群是一類很重要的群，最早的群論就是從研究它開始的，利用它，伽羅瓦解決了代數方程是否可用根式求解問題，後面在伽羅瓦的工作基礎之上慢慢發展到了今天代數學中專門的理論——即 伽羅瓦理論 。前面我們看到群 G 中的任何元素 a 使得 遍歷整個群，因為復合運算是和函數和映射是等同的，故我們可以從 看出 a 是和 G 上的一個 雙射變換 相對應。而容易證明，集合 G 上的所有雙射變換 組成一個群，並且 G 是 S(G) 的子群。一般地，集合 M 上的所有雙射變換組成的群S(M)，也可以看成集合 G 的排列是任何從G到G的雙射函數；所有這種函數的集合形成了在函數復合下的一個群S(M)叫 M 上的 對稱群 （symmetric group）。當 時，又可記作 ，叫 n 次對稱群。顯然每個n 階群都同構於 的某個真子群，而階為無窮的群也同構於 的某個真子群（ 凱萊定理 ）。即所有群 G 同構於在集合G上的對稱群的子群。這可以被理解為G在集合G的元素上的群作用的一個例子。關於群在集合上的作用後面會講到。凱萊定理通過把任何群（包括無限群比如(R,+)）都當作某個底層集合的排列群，把所有群都放在了同一個根基上。因此，對排列群成立的定理對於一般群也成立。
這樣一來，我們就可以通過討論對稱群的子群來研究一般的群。對稱群的子群叫 置換群 （permutation group）（因為元素是置換）， 的子群叫 n 次置換群，這里我們只討論 n 次置換群。將集合中元素用 編號，每個置換 可以表示為下式，改變列的順序並不改變定義。
考察置換中的映射序列： ，容易證明這個序列最終必定會回到 1，這就形成了一個環路。顯然任何置換都是由幾個不相交的環路組合而成的，有必要對它繼續進行研究。每個環路其實也可以看成是一個置換，只不過環路之外的值映射到自身而已。如果環路上共有 k 個元素，這樣的置換就稱為 k-循環置換 （或k-循環），特別地，2-循環也叫 對換 。循環置換可表示為下式，其中 它的階顯然為 k。
這樣就可知，任何置換都可以唯一分解為幾個不相交循環的乘積。另外，顯然不相交循環的乘積是可交換的，故置換分解為循環後的順序是可以任意的。另外也容易有下式成立，即循環可以分解為一系列對換的乘積（不可交換），故任一置換又可以分解為一系列對換的乘積。這個地方你需要弄清置換、對換的本質是映射，如下當右向左的復合映射。
至此就不能再分解了，我們不禁想問，如果一個置換有不同的分解為對換的方法，那它們的對換個數有什麼關系嗎？現在需要一個固定的值將它們聯系起來，這個值只能從置換 本身下手。對於數對 ，如果 ，則稱 為一個反序。總反序數是固定的，定義有奇數個反序的置換為 奇置換 ，否則叫 偶置換 。你可以證明，任何對換與置換相乘後都會改變它的奇偶性。而由上面的分解可知，任何置換都是由恆等變換與一系列對換相乘得來，這樣不同分解的對換個數的奇偶性也就必然相等。
奇偶性是置換的一個符號性質，它們相乘後的奇偶性變化與正負符號是一樣的。以某個奇置換為乘積的值，可以將偶置換與奇置換一一配對，這樣它們就 各佔一半 。另外容易看出，所有偶置換的運算是封閉的(因為必須包含單位元，即恆等映射。奇置換不含單位元不構成群)，故它們能組成一個群，這個群叫做 n 次 交錯群 （alternating group），記作 。如下有幾個小思考題，僅供讀者練習：
• 求證 ；
• 求證 和 都是Sn的生成系。
現在我們繼續研究群的分解，先來討論一般子群之間、以及子群和父群的關系。首先我們便要講陪集的概念。緊接著我們就能看到陪集就是用群內任意一個元素與原群的子集進行一個復合操作，左復合就是左陪集，反之為右陪集。
思路概覽：
緊接著我們便要問： 我們為什麼要這樣做 ？使用一個元素去對子群進行作用得到一個新的概念——陪集 ，這里僅給出我個人的觀點，正如前面已經講到的，群代表著某種對稱性。當給我們一個抽象群需要研究它時，我們直觀就能意識到拋去具體細節，從形式上看就知道它代表著某種對稱性。於是我們在深入研究它的內部結構的時候，不禁想問這個群裡面是不是還包含著另外一個小的對稱性，即子群的概念。於是緊接著這個子群與大群是否可以建立某種聯系，參考前面將大群分解小群的概念。我們是否可以構造出一種分解的概念，於是我們面臨著一個直接的問題，我們知道群元素其底層就是一個集合，在對應到集合的劃分之後，我們可以直觀的理解是將一個大的原集合劃分成若干個小集合。
<font color=red> 問題來了，我們劃分之後的小集合還是群嗎 ？ </font>，首先我們應該明確：當我們研究一個東西的時候常常是從具體實際出發到理論抽象建模，然而當我們提出一個理論的時候確實從抽象出發，在衍生到所有的具體場景。因為抽象的是約束最少的情況，具體的是通過添加限制約束的情況。 抽象的適用面更廣、更自由、更易於表達思想 。回到正題，我們便會很容易的想到對應於劃分之後的小集合都能構成群便是一種具體的情況，而不滿足這個強約束的是一般。於是我們就可以理解我們這里要提出的陪集的概念(一般情況)和後面要提到的直積概念(具體情況) 了。而至於我們為什麼要用子群與元素的作用來作為陪集的概念，首先我們肯定不能用待研究的抽象群，因為通過前面的學習，我們知道任意一個元素與一個群本身左右得到的還是它本身，對我們來說沒有任何新的有意義的結果或信息。而針對子群來說就不一樣了，我們可以想像使用一個元素去作用子群，與我們量子力學或原子物理學中使用一個粒去去碰撞另一個待研究的粒子是一樣的。使用一個元素去作用一個子群我們便有了一個劃分。因為我們知道如果這個元素屬於這個子群，由於封閉性得到的元素必定還是在群內，反之不在群內。便達到了我們分解大群的目的，雖然有些不完全，但在這種抽象一般情景下也只能這樣做。如果結構性質良好，就可以使用直積的概念來分解了。
下面，進入到正題。首先根據子群的判定條件，如果 ，則很容易有 。那麼 呢?當然這里 H, K 都是真子群，並且不互相包含。對於子群交的情況我們可以較容易的證明，而對於子群並其實大多數情況下都是不成立的。在比如如果我們想劃分之後的子集都構成子群，我們就會問一個問題 ？ 即 是不是 G 的子集？對 ，如果總有有 ，容易證明該條件和 等價。所以就有下式結論。這樣的分割需要子集滿足一定條件，不符合我們現在的一般情況，需要另找方法。
現在看來，我們必須放棄將父群分解為若干個子群的想法，而只能以某個子群 H 為參考或劃分單位。我們還希望分成的每一塊和子群一樣大，最好元素與H也有一一對應的關系。由此我們想到了考察集合 ，它表示 a 和 H 每個元素的乘積組成的集合，被稱為 H 的左陪集（left coset），a 是左陪集的代表元。如果 ，顯然 ，現在來研究 時， 之間的關系。
對任意 ，存在 ，則 ，也就是說以 的中任何元素為代表元的左陪集都與 完全重合。換句話說，所有左陪集要麼完全相等，要麼沒有交集，每個元素都被劃分到了一個左陪集中，且都能作為該左陪集的代表元。另一方面，對 ，有 ，容易證明 就是a,b同屬於一個左陪集的充要條件，它是群元素之間的一個 等價關系 。如果用 表示子群 H 在群 G 中的所有不同的左陪集，則有等式 稱其為群 G 關於子群 H 的 左陪集分解 。而稱 為 G 關於 H 的一個 左陪集代表系 。同理右陪集。應注意 H 本身就是 G 的一個左陪集，但 G 的任何別的左陪集由於沒有單位元，當然都不是 G 的子群。
同樣可以定義 右陪集 的概念，並有著和左陪集一樣的結論，只不過同屬於一個右陪集的條件要改成 。對於非交換群， 與 一般不相等，所以左右陪集的分割是完全不同的（H本身除外，它既是左陪集，又是右陪集）。但你也許並不甘心，它們之間一定有別的方法能聯系起來。考慮到左右陪集只是左右顛倒的，你很自然就可以想到逆運算，對任何 ，都有 。即 和 的元素是完全互逆的關系，這樣左右陪集就找到了一一對應的關系。現在想來，左陪集 中元素的逆被分散到了其它左陪集中，但卻神奇地集中到了右陪集 里。
考慮所有左陪集 組成的集合，它的階被稱為子集 的 指數 （index），記為 ，那麼顯然有式（2）的 拉格朗日定理 成立。進一步地，如果 ，還容易有式（3）成立（注意對無窮的討論）。並且可以直觀地看出，K 的陪集其實就是在 H 陪集的基礎上再以 K 為單位進行的劃分。
現在再來看 的陪集與 陪集的關系，首先由剛才的結論知， 的陪集正好是 陪集的一個再次分割。從而 要麼是空集，要麼正好是某些 的陪集。進一步地，如果 ，則 ，即 最多隻包含一個 的陪集。這樣的話就容易有以下不等式。
最後來看子集 ，它顯然由一些 K 的左陪集組成。另外考慮 H 中 的 個左陪集，考慮 ，它們屬於同一 左陪集的充要條件是 。而該條件顯然等價於 ，它又是 屬於同一 K 的左陪集充要條件，故 中 K 的左陪集的個數就是 m。以上結論可以總結為式（5），顯然只有當 時，才有| 。應該注意雖有下面式子，但 仍然不一定是子群。
現在群 G 被分成了 H 的陪集，H 當然有更細的劃分方法，現在需要來研究它的陪集組成的集合。我們先不直接研究陪集，而是採用更一般性的方法。回顧陪集的定義，其實就是一個從群元素到陪集的映射，我們希望研究一般的代數系統之間的映射。考慮兩個系統 之間的映射 ，我們當然希望運算律是保持的，滿足以下條件的映射被稱為同態映射（homomorphism）。如果映射是滿的，則稱 同態，記作 。
我們重點要關注的當然是同態映射像和原像的關系，即同態系統之間的關系。如果 ，其中 G為一個群，容易證明 滿足群的所有條件（證明略），故 也是群。當然還可以得到更多結論，比如單位元映射到單位元、逆元映射到逆元，甚至子群映射到子群，這里就不贅述了。反過來思考同態映射，它的每個像都有可能不止一個原像，G按照像的不同被劃分成了不同的等價類，這些等價類有什麼性質？它和 又有什麼關系？
顯然那些等價類與同態像是一一對應的，如果能定義好運算，它們自然就是同構的，現在的任務就是尋找這些等價類有意義的運算。先定義 的原像 為核（kernel），記作 。下面來看那些等價類是什麼，對於 ，考察 。對任何 ， ，故 ，從而 是一個子群，且每個等價類是都是它的左陪集。你還可以發現，剛才的證明對右陪集同樣成立，也就是說 的左右陪集是一樣的！
既然陪集不分左右了，就可以為其定義 ，容易證明在該運算下，K 的陪集與 是同構的。我們需要專門研究像核這樣的子群，即對子群 N，要求 恆成立。為此定義滿足下式的子群為 正規子群 （normal subset），記作 ，如果 ，也記作 。剛才的結論可以說成，同態映射的核是正規子群，那麼反過來呢？其實容易證明，對任意正規子群N，映射 就是同態的。故我們可以下結論：任何正規子群都與一個同態映射等價。
因為正規子群 N 的陪集與同態像一一對應，它們必然組成群，定義它為 商群 （quotient group），記作 ，從而有 。剛才的結論用符號表示就是下式，它被稱為 同態基本定理 。
現在繼續對正規子群作一些常規討論。正規子群是 N 與 G 的關系，所以對任意 ，總有 ，但對 ，卻不一定有 。交換群的子群顯然都是正規子群。對非交換群 和 G 顯然都的正規子群，但如果除了這兩個平凡正規子群外沒有其它正規子群，那麼 G 叫 單群 （single group）。反之如果其所有子群都是正規子群，它也叫 哈密頓群 。比較容易證明，兩個正規子群的交和積也必然是正規子群（公式（8）），但正規子群與子群的交和積卻只能是普通的子群。
如下幾個小小的關於正規子群的問題，僅供讀者思考：
• 是 的正規子群， 是 的正規子群。如果已知 時， 都是單群，則 的非平凡正規子群只有 ；
• 且 ，若 都是交換群，求證 也是交換群；
• 是正規子群，則任何 也是正規子群；
同態基本定理給出了一種分析群的結構的方法，將群拆分為正規子群和商群，這里介紹著名的群的 同構定理 。第一同構定理其實就是同態基本定理，第三同構定理以正規子群N為單位元，得到更大正規子群的結構。將G換成HN就得到第二同構定理。
（1）第一同構定理： ；
（2）第二同構定理： ；
（3）第三同構定理： 。
之前講了對稱群，它的組成元素是集合的一一映射，現在來看它在群上的一個特殊子群。我們考慮群的所有 自同構變換 組成的集合，很容易證明它們組成群，稱為 自同構群 （automorphism），並記作為 。容易證明無限循環群的自同構群是 2 階循環群，而 n 階循環群的自同構群是 階群。如果你覺得自同構群不好構造，那你可以試試同構映射
B. 如果一個代數系統存在零元，則是否一定存在單位元反之呢
一個代數系統必有零元，但未必一定有單位元。棗租乎
首先，所謂代數系統是指
1、有一個非空集合A；
2、在這個集合上定義了若干個運算；
3、該集合對所定義的運算是封閉的型衡。
所以，很顯然線性空間就是一個代數系統。而只含有零向量的集合對於加法和數量乘法是凳悉構成一個空間的，就是我們常說的零空間。這個空間有零元，但沒有單位元。