1. 泊松分布——直观理解、应用示例、推导过程
泊松分布是一种用于预测在固定时间间隔内发生指定数量事件的概率分布。它由泊松发明，用于解决预测未来事件数目问题。例如，可以用来预测客户购买商品的数量、网站访客数量、广告点击次数、电话次数或死亡人数等。使用泊松分布可以帮助我们估算特定事件发生的概率。
假设我们不知道事件发生的概率和总试验次数，但知道事件的平均发生次数。以点赞为例，平均每周有17人点赞。要预测下周将有多少人点赞，可以使用泊松分布。通过已知数据，可以计算出每周阅读次数（n）和每周点赞人数（x）的平均值。在此基础上，可以利用泊松分布的概率质量函数（PMF）来估算下周恰好有20个成功（点赞）的概率。
泊松分布的使用场景比二项分布更广泛。二项分布只能处理固定次数的试验，而在单位时间内只能发生0次或1次事件。而泊松分布允许在单位时间内发生多个事件，这使得它在处理流量、电话呼叫等连续事件时更为适用。同时，泊松分布不需要预先知道试验次数和成功概率，只需知道事件的平均发生次数（速率λ）。
从二项分布的PMF推导出泊松公式，关键在于当试验次数趋向无穷大且成功概率趋向于零时，二项分布的两个参数可以合并为一个平均事件次数λ。随着λ的增大，泊松分布的图形会越来越接近正态分布。
泊松分布具有非对称性，总是向右倾斜，因为事件数量不能为负，但可以无限大。随着λ的增加，分布的形态会逐渐接近正态分布。泊松分布的假设条件包括事件平均速率恒定以及事件间独立性。
泊松分布与指数分布之间存在紧密关系。如果单位时间内的事件数量遵循泊松分布，那么事件之间的时间间隔则遵循指数分布。这两种分布虽然在性质上有所不同，但它们在实际问题中经常相互关联。
总结起来，泊松分布是一种强大的统计工具，适用于预测固定时间间隔内事件发生的概率。它在许多领域都有广泛的应用，如市场营销、网络流量分析、生物统计等。通过理解其原理和推导过程，我们可以更好地应用泊松分布解决实际问题。